Równania rózniczkowe czastkowe pojawiły sie w zwiazku z badaniami procesów
drgan rozmaitych srodowisk, miedzy innymi drgan strun, pretów, membran, jak równiez
w zwiazku z badaniami zagadnien z zakresu akustyki i hydromechaniki. Pierwsze
równanie rózniczkowe czastkowe zostało sformułowane w połowie XVIII wieku
przez J. d’Alemberta (1717-1783). Było to równanie – według dzisiejszej nomenklatury
– typu hiperbolicznego i powstało w wyniku rozwazan nad zagadnieniem struny
drgajacej. L. Euler (1707–1783) sprecyzował warunki okreslajace jednoznacznosc rozwiazania
tego równania, tworzac poczatki teorii równan rózniczkowych czastkowych.
Pózniej, kierujac sie sugestiami natury fizycznej, D. Bernulli (1702–1782) przedstawił
rozwiazanie struny drgajacej w postaci szeregu trygonometrycznego. Metode te rozwinał
J. Fourier (1750-1830) tworzac poczatki teorii szeregów trygonometrycznych.
A.L. Cauchy (1789-1857) sformułował zagadnienie poczatkowe dla równan rózniczkowych,
zwane dzisiaj zagadnieniem Cauchy’ego.
P. Laplace (1749-1827) zauwazył, ze potencjał siły wzajemnego przyciagania dwóch
mas spełnia równanie rózniczkowe czastkowe, które dzisiaj nosi nazwe równania Laplace’a.
S.D. Poisson (1781-1840) rozwinał teorie zjawisk przyciagania grawitacyjnego,
w zwiazku z która wprowadził równanie zwane obecnie równaniem Poissona. Tak
wiec badania z zakresu mechaniki nieba i grawimetrii doprowadziły do powstania
klasy równan noszacych dzis nazwe równan eliptycznych. W poczatkach XIX wieku
G. Green (1793-1841) stworzył ogólne podstawy teorii potencjału rozwijajac teorie
elektrycznosci i magnetyzmu. Badania zjawiska przewodnictwa cieplnego oraz dyfuzji gazów i cieczy doprowadziły natomiast do powstania klasy równan które nazywamy dzisiaj równaniami parabolicznymi.
Na przełomie XIX i XX wieku nastąpił bujny rozwój badan w zakresie teorii
równan rózniczkowych czastkowych. Miedzy innymi istotny wkład wniesli tacy matematycy
jak B. Riemann (1826-1866), H. Poincare (1854-1921), E. Picard (1856-1941),
J. Hadamard (1865-1937), E. Goursat (1854-1938). Z polskich matematyków wymienic
nalezy autora jednej z pierwszych monografii poswieconych równaniom rózniczkowym
czastkowym - M. Krzyzanskiego (1907–1965).
Jak widac równania rózniczkowe czastkowe zrodziły sie w zwiazku badaniami zagadnien
fizyki i chociaz obecnie zakres ich zastosowan znacznie sie rozszerzył, znakomita
czesc równan rózniczkowych czastkowych nosi nazwe od zjawisk które pierwotnie
opisywały, np. równanie struny, równanie fali kulistej, równanie fali walcowej, rów
nanie przewodnictwa cieplnego, równanie dyfuzji. Wiek XX przyniósł dalszy bujny
rozwój teorii równan rózniczkowych czastkowych, zwiazany z powstaniem i rozwojem
nowych działów matematyki, zwłaszcza topologii i analizy funkcjonalnej.
Równanie rózniczkowe cząstkowe, to równanie w którym wystepuje niewiadoma
funkcja dwóch lub wiecej zmiennych niezaleznych oraz niektóre jej pochodne czastkowe. Zastosowania wymagaja jednak często rozwiazan które nie maja ciagłych pochodnych, lub nie wszedzie
sa rózniczkowalne lub wreszcie nie wszedzie sa ciagłe. Wymaga to wprowadzenia tak
zwanych rozwiazan słabych. W niniejszym tekscie ograniczymy sie do rozwazania rozwiazan
klasycznych, chociażz punktu widzenia zatosowan sa one daleko niewystarczajace.
Postaramy się natomiast sygnalizawac sytuacje w których widać potrzebę
rozważania szerszej klasy rozwiązań oraz sformułujemy wstępne definicje, zachecajac
w ten sposób Czytelnika do sięgnięcia po opracowania bardziej zaawansowanego podręcznika.
- Menedżer: Anatolij Prykarpatski